Wärmewiderstand


Wärmewiderstand

Dieser Artikel behandelt “absolute” Größen (Kennzahlen eines Bauteils). Für die stoffspezifischen Größen siehe Wärmeleitfähigkeit.

Der (absolute) Wärmewiderstand (auch Wärmeleitwiderstand, thermischer Widerstand) ist ein Wärmekennwert und ein Maß für die Temperaturdifferenz, die in einem Objekt beim Hindurchtreten eines Wärmestromes (Wärme pro Zeiteinheit oder Wärmeleistung) entsteht. Er ist umgekehrt proportional zum Wärmeleitwert für das Bauteil. Das hantieren mit Widerstand statt Leitwert ist praktischer in Situationen, wo Widerstände in Reihe auftreten, wie Wärmeübergang auf einen Kühlkörper, Wärmeleitung im Kühlkörper, Wärmeübergang an die Luft.

Definition des thermischen Widerstands

$ R_{th} = \frac{\Delta T}{\dot Q_V} $

mit

$ \Delta T $ - Temperatur-Differenz (z. B. zwischen Außen- und Innenseite einer Thermosflasche oder zwischen einer Kühlfläche und der Umgebungsluft)
$ {\dot Q_V} $ - Wärmestrom (z. B. Verlustleistung eines auf einem Kühlkörper montierten Bauteiles oder durch ein Fenster verlorengehende Wärme)

Für einen homogenen Körper mit über die Länge $ l $ konstanter Querschnittsfläche $ A $ lässt sich $ R_{th} $ über die Wärmeleitfähigkeit $ \lambda $ des Materials berechnen:

$ R_{th} = \frac{l}{\lambda \cdot A} $

Die Einheit des Wärmewiderstands ist K/W.

Analogie thermischer Vorgänge zum ohmschen Gesetz

Thermische Größen haben Analogien zu denen des elektrischen Widerstandes, die sich auch in ihren Namen zeigen.

Es treten Analogien zum elektrischen Strom auf, die die Anwendung des ohmschen Gesetzes und der kirchhoffschen Regeln bei der Wärmeübertragung ermöglichen. Diese sind:

Thermodynamik Elektrischer Strom
Absoluter Wärmewiderstand $ R_{th}\! $ Elektrischer Widerstand $ R\! $
Temperaturdifferenz $ \Delta T\! $ Elektrische Spannung $ U\! $
Wärmestrom $ \dot{Q}\! $ Elektrischer Strom $ I\! $
Wärmeleitfähigkeit $ \lambda\! $ Elektrische Leitfähigkeit $ \sigma\! $
Wärmekapazität $ C_{th} = c_v \cdot V $ Elektrische Kapazität $ C $

Anwendungsbeispiele

Bauphysik

Wenn bei einer Styroporplatte mit einem Wärmewiderstand von 1 K/W zwischen den beiden Seiten ein Temperaturunterschied von 20 K herrscht, dann ergibt sich ein Wärmestrom durch die Platte von:

$ \dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_{th}} = \mathrm{\frac{20\;K}{1\;\frac{K}{W}}= 20\;W} \, $

Saison-Wärmespeicher

Ein Wärmespeicher mit konstanter Umgebungstemperatur entlädt sich durch die eigene Wärmedämmung. Der Verlauf der Temperaturdifferenz $ \Delta T $ zur Umgebung über der Zeit $ t $ ist dann

$ \Delta T = \Delta T_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} $

genau so wie der Spannungsverlauf bei einem Kondensator, der über einen Widerstand entladen wird

$ U = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} $

Die Zeitkonstante $ \tau $, mit der sich Wärmespeicher und Kondensator entladen, ist

$ \tau = R \cdot C \; $

Jetzt als Zahlenbeispiel, die meisten Ergebnisse sind gerundet: Wärmespeichermedium sei Wasser mit 45 % Ethylenglycol, 7 m breit, 7 m lang, 4 m hoch:

$ V = 7 \cdot 7 \cdot 4 \; \mathrm{m}^3 = 196 \; \mathrm{m}^3 $

Die spezifische Wärmekapazität der Wasser-Glycol-Mischung ist

$ c_v = 3{,}5 \; \frac{\mathrm{MJ}}{\mathrm{m}^3 \mathrm{K}} $

Die Wärmekapazität ist das Produkt aus volumenbezogener spezifischer Wärmekapazität und Volumen

$ C_\mathrm{th} = c_v \cdot V = 686 \; \mathrm{\frac{MJ}{K}} $

Wärmedämmung sei Schaumglas-Schotter mit einer Schichtdicke $ l = 0{,}5\,\mathrm{m} $. Als Oberfläche der Wärmedämmung wird die Oberfläche des Wassertanks eingesetzt:

$ A = (2 \cdot 7 \cdot 7 + 4 \cdot 4 \cdot 7) \; \mathrm{m}^2 = 210 \; \mathrm{m}^2 $

Die spezifische Wärmeleitfähigkeit von Schaumglas-Schotter ist

$ \lambda = 0{,}08 \; \mathrm{\frac{W}{m\ K}} $

Das ergibt als Wärmewiderstand

$ R_\mathrm{th} = \frac{l}{\lambda \cdot A} = 0{,}03 \; \mathrm{\frac{K}{W}} $

Jetzt lässt sich die Zeitkonstante der Selbstentladung berechnen:

$ \tau = R_\mathrm{th} \cdot C_\mathrm{th} = 20{,}6 \cdot 10^6 \; \mathrm{s} = 238 \; \text{Tage} $

Nach 238 Tagen ist die Differenz zwischen Temperatur im Wasser und in der Umgebung also auf 37 % ($ = e^{-1} $) des Anfangswerts gesunken.

Elektronik

Bei der Auslegung der Kühlung von Halbleitern oder anderen Schaltungselementen in elektronischen Schaltungen ist der Wärmewiderstand eines konkreten Kühlkörpers die maßgebliche Kenngröße zu dessen Auswahl. Sie wird vom Kühlkörperhersteller, z. B. für freie Konvektion, angegeben.

Der Wärmewiderstand eines Bauelements zur Umgebung ohne Kühlkörper kann zur Kontrolle herangezogen werden, ob eine Kühlkörpermontage überhaupt erforderlich ist – er wird vom Bauteil-Hersteller mit RthJ/A (von engl. Junction/Ambient) angegeben.

Im Halbleiterbauteil selbst tritt ein Wärmewiderstand zwischen Chip und Gehäuse-Kühlfläche auf. Er wird vom Hersteller mit RthJ/C (von engl. Junction/Case) angegeben.

Die Montage selbst und möglicherweise ein Wärmeleitpad verursachen weitere Wärmewiderstände. Befindet sich der Kühlkörper innerhalb eines Gehäuses oder eines Baugruppenträgers, so ist zu beachten, dass er die Wärme an Luft abgibt, deren Temperatur möglicherweise deutlich über der Temperatur der Umgebung liegt.

Aus der Verlustleistung $ P_{\,} \ $ und der Summe aller Wärmewiderstände $ R_{th}\ $ kann die Temperaturdifferenz $ \Delta T \ $ zwischen Chip und der Umgebung des Kühlkörpers berechnet werden:

$ \Delta T = P \cdot R_{th} $

Ist der Wert zu groß, so ist der Wärmewiderstand des Kühlkörpers zu verringern, z. B. durch einen Kühlkörper mit Lüfter oder Wärmerohr, oder das Gehäuse zu belüften.

Siehe auch