D’Alembertoperator

Der d’Alembert-Operator (nach Jean Baptiste le Rond d’Alembert) ist ein linearer Differentialoperator zweiter Ordnung, der eine Verallgemeinerung des Laplaceoperators im vierdimensionalen Minkowskiraum darstellt. Er wird meist als Viereck $ \square $ notiert und dementsprechand auch als Viereckoperator, Quabla (vgl. Nabla) oder (aus dem Englischen kommend) als Box-Operator bezeichnet.

Der d’Alembert-Operator heißt auch Wellenoperator, weil er zentraler Bestandteil der Wellengleichung sowie der allgemeineren Klein-Gordon-Gleichung ist.

Definition

Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) wird der Vierergradient, ein kovarianter Vektor, durch

$ \partial_\mu=\left(\partial_{ct},\nabla \right)=\left(\partial_{ct},\partial_x,\partial_y ,\partial_z \right) $.

definiert. Die kontravarianten Komponenten ergeben sich durch Heraufziehen des kovarianten Index zu:

$ \partial^\mu=\eta ^{\mu \nu}\partial_{\nu}=\left(\partial_{ct},-\partial_x,-\partial_y ,-\partial_z \right) $

Durch Kombination der beiden Operatoren lässt sich der lorentzinvariante d’Alembert-Operator bilden:

$ \square := \partial^\mu \partial_\mu = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \frac{\partial ^2}{\partial x^2} - \frac{\partial ^2}{\partial y^2} - \frac{\partial ^2}{\partial z^2} = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \Delta $

Er enthält nur zweite Ableitungen.

Vorzeichenkonventionen

Wie in der SRT üblich sind die Vorzeichen von der Signatur der Metrik abhängig. Oft wird - wie oben - in der SRT die Konvention (+,−,−,−) für die Signatur der Minkowski-Metrik verwendet, ansonsten benutzt man die Konvention (−,+,+,+). [1] Für die erste Signatur ergibt sich der d’Alembert-Operator, wie oben bereits gezeigt, zu:

$ \square = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \Delta $

Für die andere Signatur ergibt sich analog:

$ \square = \Delta - \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} $ [2]

Beide Ergebnisse sind gebräuchlich. Sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Als Konsequenz bleibt insbesondere festzuhalten, dass die Wellengleichung (siehe unten) nicht  von der gewählten Konvention abhängt:

Wellengleichung

Ursprünglich kommt der d'Alembert-Operator aus der Elektrodynamik und ergibt sich bei der Herleitung der Wellengleichung. Hieran ist deutlich zu erkennen [3], dass es sich bei der Elektrodynamik um eine relativistische Theorie handelt. Zudem ist der d'Alembert-Operator ein Lorentz-Skalar und somit invariant unter Lorentz-Transformationen. Er spielt damit auch eine wichtige Rolle in der relativistischen Elektrodynamik. Unter Verwendung des d'Alembert-Operators kann für eine Funktion $ f(x,t) $ die Wellengleichung in einer sehr kompakten Form geschrieben werden

$ \square f = 0 $

Greensche Funktion

Eine Greensche Funktion $ G(t,t',x,x') $ des d'Alembert-Operators erfüllt als dessen Rechtsinverses die Definitionsgleichung

$ \square(t,\mathbf{x}) G(t-t^\prime, \mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime) = \delta(t-t^\prime) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime) $.

Dabei bezeichnet $ \delta $ die Diracsche Delta-Distribution. Da es sich um einen nicht explizit zeit- und ortsabhängigen Operator handelt, hängt $ G $ nur von den Differenzen $ (t - t') $ sowie $ (x - x') $ ab, weshalb wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die gestrichenen Koordinaten null setzen können. Für die Fouriertransformierte $ G(\omega,k) $

$ G(t, \mathbf x) = \frac1{(2\pi)^4} \iint d\omega\ d^3\mathbf k\; \mathrm{e}^{\imath(\omega t-\mathbf{kx})}\ G(\omega, \mathbf k) $

ergibt sich dann folgende algebraische Gleichung:

$ G(\omega, \mathbf k) = \frac 1{-(\omega/c)^2 + k^2} $

Die Polstellen von $ G(\omega,k) $ liegen genau dort, wo die Dispersionsrelation für elektromagnetische Wellen im Vakuum ($ \omega^2=c^2k^2 $) erfüllt ist. Die Lösungen der homogenen Wellengleichung fallen also genau mit den Polen der Greenschen Funktion zusammen, was ein für Antwortfunktionen typisches Resonanzverhalten ist.

Um die Rücktransformation durchführen zu können, betrachten wir die analytische Fortsetzung von $ G(\omega,k) $ für komplexe Frequenzen. Mit Hilfe des Residuenkalküls kann man die Pole bei $ |\omega| = ck $ „umschiffen“, wobei verschiedene Pfade verschiedenen Randbedingungen entsprechen. Man unterscheidet:

Typ $ G(\omega,\mathbf k) $ $ G(t, x) $
Retardiert $ G^+ $ $ \frac 1{-(\omega/c)^2 + (k + \imath\epsilon)^2} $ $ \frac 1{4\pi x} \delta\left(t - \frac xc\right)\Theta(t) $
Avanciert $ G^- $ $ \frac 1{-(\omega/c)^2 + (k - \imath\epsilon)^2} $ $ \frac 1{4\pi x} \delta\left(t + \frac xc\right)\Theta(-t) $

Die Greensche Funktion im Frequenzraum ist dabei im Grenzwert $ \epsilon\to0^+ $ zu verstehen, was den verschiedenen Pfaden um die Pole im Integral entspricht.

Der Faktor $ t-x/c $ entspricht dem Ausbreitungsgesetz einer Kugelwelle.

Einzelnachweise und Fußnoten

  1. Sehr selten benutzt man auch die „komplexe“ Signatur (i,1,1,1), bei der wegen der formalen Identität i2=-1 kontravariante und kovariante Vektorkomponenten nicht explizit unterschieden werden müssen, sondern alles „wie in der elementaren Vektorrechnung“ zu funktionieren scheint, wofür man sich aber an anderer Stelle schwerwiegende Nachteile einhandelt.
  2. Dasselbe Ergebnis ergibt sich auch mit der gerade genannten „komplexen“ Signatur.
  3. Diese Erkenntnis wäre schon möglich gewesen bevor Einsteins SRT entstand.

Literatur

  • Torsten Fließbach: Elektrodynamik. Lehrbuch zur theoretischen Physik II, 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag

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