Sturm-Liouville-Problem

Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Joseph Liouville und Charles-François Sturm) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Finde alle komplexen Zahlen $ \lambda $, für die die Differentialgleichung

$ -\left(p\cdot \psi '\right)'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi $

auf dem Intervall $ (a,b) $ eine Lösung besitzt, die den Randbedingungen

$ {\begin{aligned}\cos(\alpha )\psi (a)&+\sin(\alpha )p(a)\psi '(a)=0\\\cos(\beta )\psi (b)&+\sin(\beta )p(b)\psi '(b)=0\end{aligned}} $

genügt.

Führt man den linearen Operator der Form

$ L={\frac {1}{w}}\left(-{\frac {d}{dx}}\,p\,{\frac {d}{dx}}+q\right) $

ein, den Sturm-Liouville-Operator, so kann die Eigenwertgleichung $ L\psi =\lambda \psi $ mithilfe von Methoden aus der Funktionalanalysis (Spektraltheorie) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion $ w $ quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden.

Ist das Intervall kompakt und sind die Koeffizienten $ w,p^{-1},q $ integrierbar, so spricht man von einem regulären Sturm-Liouville-Problem. Ist das Intervall unbeschränkt oder sind die Koeffizienten nur lokal integrierbar, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem.

Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

Die Eigenwertgleichung

$ -(p\cdot \psi ')'+q\cdot \psi =\lambda \cdot w\cdot \psi $

mit integrierbaren reellen Funktionen $ w(x)>0,p(x)^{-1}>0,q(x) $, zusammen mit Randbedingungen der Form

$ \cos(\alpha )\psi (a)+\sin(\alpha )p(a)\psi '(a)=0,\quad \cos(\beta )\psi (b)+\sin(\beta )p(b)\psi '(b)=0,\qquad \alpha ,\beta \in [0,\pi ), $

nennt man ein reguläres Sturm-Liouville-Problem über dem Intervall $ [a,b] $, wenn dieses Intervall endlich ist.

Im Fall $ \psi (a)=\psi (b)=0 $ spricht man von Dirichlet-Randbedingungen und im Fall $ \psi '(a)=\psi '(b)=0 $ von Neumann-Randbedingungen.

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem gilt, dass es eine abzählbare Folge von reellen Eigenwerten gibt, die gegen $ +\infty $ divergiert:

$ \lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty . $

Die Eigenwerte verhalten sich asymptotisch wie (Weyl Asymptotik):

$ \lambda _{n}=\pi ^{2}\left(\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {w(x)}{p(x)}}}dx\right)^{-2}n^{2}+O(n). $

Die zugehörigen Eigenfunktionen $ \psi _{n} $ bilden eine Orthonormalbasis im Hilbertraum $ L^{2}([a,b],w(x)dx) $ der bezüglich der Gewichtsfunktion $ w $ quadratintegrierbaren Funktionen.

Der Sturm'sche Oszillationssatz besagt, dass im Fall von Dirichlet-Randbedingungen die $ n $-te Eigenfunktion $ \psi _{n} $ genau $ n-1 $ Nullstellen im Intervall $ (a,b) $ besitzt. Insbesondere kann die tiefste Eigenfunktion positiv gewählt werden.

Beispiel

Ein einfaches Beispiel ist die Differentialgleichung

$ -\psi ''=\lambda \psi $

auf dem Intervall $ [0,\pi ] $, zusammen mit den Dirichlet-Randbedingungen

$ \psi (0)=\psi (\pi )=0. $

Die Eigenwerte sind

$ \lambda _{n}=n^{2} $,

und die normierten Eigenfunktionen sind

$ \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(n\,x). $

Die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist die Fourierreihe.

Mathematische Theorie

Der geeignete mathematische Rahmen ist der Hilbertraum $ L^{2}([a,b];w(x){\rm {d}}x) $ mit dem Skalarprodukt

$ \langle f,g\rangle :=\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)w(x)\,{\rm {d}}x $.

In diesem Raum ist $ L $ ein selbstadjungierter Operator, wenn er auf der Menge der (im Sinne der schwachen Ableitung) differenzierbaren Funktionen, die die Randbedingungen erfüllen, definiert wird:

$ {\mathfrak {D}}(L)=\{f\in L^{2}([a,b];w(x){\rm {d}}x):f,pf'\in AC[a,b],\,Lf\in L^{2}([a,b];w(x){\rm {d}}x),\,\cos(\alpha )f(a)+\sin(\alpha )p(a)f'(a)=\cos(\beta )f(b)+\sin(\beta )p(b)f'(b)=0\}. $

Hierbei bezeichnet $ AC[a,b] $ die Menge der auf $ [a,b] $ absolut stetigen Funktionen. Da $ L $ ein unbeschränkter Operator ist, betrachtet man die Resolvente

$ (L-z)^{-1},\qquad z\in \mathbb {C} $,

wobei $ z $ kein Eigenwert sein darf. Es stellt sich heraus, dass die Resolvente ein Integraloperator mit stetigem Kern (die Green'sche Funktion des Randwertproblems) ist. Somit ist die Resolvente ein kompakter Operator, und die Existenz einer abzählbaren Folge von Eigenfunktionen folgt aus dem Spektralsatz für kompakte Operatoren.

Der Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von $ L $ und der Resolvente folgt, da $ (L-z)^{-1}\psi =\alpha \psi $ äquivalent ist zu $ L\psi =\lambda \psi $ mit $ \lambda =(z+\alpha ^{-1}) $ ist.

Singuläre Sturm-Liouville-Probleme

Sind obige Bedingungen nicht erfüllt, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem. Das Spektrum besteht dann im Allgemeinen nicht mehr nur aus Eigenwerten und besitzt auch einen kontinuierlichen Anteil. Es gibt weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen, und die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist eine Integraltransformation (vergleiche Fouriertransformation anstelle von Fourierreihe).

Wechseln $ p $ oder $ w $ das Vorzeichen, so spricht man von einem indefiniten Sturm-Liouville-Problem.

Anwendung

• Der Fall $ p(x)=w(x)=1 $ entspricht der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung.
• Der Separationsansatz zur Lösung partieller Differentialgleichungen führt auf Sturm-Liouville-Probleme.

Weblinks

Kai Gehrs: Sturm-Liouville-Probleme. (PDF; 152 kB)

Literatur

•  Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).
•  Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2.
•  Joachim Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen / Teil 2. Anwendungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-02237-0.