Beschreibung

BeschreibungAssociated legendre functions 4.svg	${\displaystyle P_{l}^{m}(x)\quad :\quad l\in [0;4],m\in [0;l]}$ English: A nice plot of the first associated legendre functions (associated legendre polynomials). Negative values for ${\displaystyle m}$ are not included. The functions are normalized to fit into the plot.
Datum	2009
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Geek3

 

W3C-validity not checked.

Mathematical Function Plot
Description	Plot of the first associated legendre polynomials
Equation1	${\displaystyle y=P_{l}^{m}(x)}$
Coordinate System	Cartesian
X Range	-1 .. 1
Y Range	-1 .. 1
Accuracy	0.000001 units

Equations

${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$

${\displaystyle P_{1}^{0}(x)=x}$

${\displaystyle P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}$

${\displaystyle P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}$

${\displaystyle P_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})}$

${\displaystyle P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}}$

${\displaystyle P_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}}$

Normalisation

All functions were normalized the following way:

${\displaystyle P_{l}^{m}(x)\cdot {\sqrt {\frac {\int _{-1}^{1}(P_{l}^{0}(x))^{2}\,\mathrm {d} x}{\int _{-1}^{1}(P_{l}^{m}(x))^{2}\,\mathrm {d} x}}}}$

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